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基于Quantum Espresso的第一性原理计算建模教程（一）：晶体结构要点

来源：本站时间：2020-11-06 16:36:43 浏览：5986次

第一节晶体结构要点

首先，说明以下几个概念：平移群，点群，空间群，原胞，晶胞，布拉伐格子，晶系，晶面，布里渊区。

晶体（crystal），是原子、离子或分子周期性排列的结构。

格子（格点）（lattice），是数学上的点构成的周期性结构。

群，是一种代数结构，在集合上封闭的运算，运算满足结合律，存在单位元，存在逆元，定义为群。可以将空间中的晶体格子坐标看成集合，在考虑块材性质时，可以认为晶体在空间无限延伸，允许其转动、平移，则可以构成群，转动、反演为群的运算，或称之为变换、操作。

如果只允许平移，称为平移群。

如果只允许转动（含空间反演、镜像），称为点群，3维空间中的点群有32种。

如果允许转动和平移的复合操作，称为空间群，3维空间中的空间群有230种。指定了空间群的类型，我们只需要知道在空间群操作下不重复的原子位置，就可以确定晶体结构，这些不重复的位置称为Wyckoff位置，QE输入有space_group和ATOMIC_POSITIONS { crystal_sg }来专门设置。

保持平移对称性的最小单元是原胞。

保持平移对称性和点群对称性的最小单元是晶胞。

布拉伐格子是按照基元+格子的概念定义的，确定布拉伐格子应满足：（1）所选平行六面体必须充分反映出格子的点群与平移群，即平行六面体必须与整个格子的晶系特征一致。（2）所选择平行六面体各个棱之间夹角为直角的数目最多，不为直角者尽可能地接近直角。（3）在满足上述（1）（2）条件后，所选择的平行六面体的体积应为最小。布拉伐格子即为晶胞。3维空间的布拉伐格子有14种。下图（https://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice）是14种布拉伐格子的基矢a,b,c及夹角所具有的特定关系。

在特定的平移、旋转操作下，晶体保持不变，这种在某种操作下不变的性质称之为体系的对称性，不同的操作定义了不同的对称性，例如，沿方向平移2个平移基矢等。体系的薛定谔方程，由于体系的对称性，也具有变换下不变的性质，于是有量子数来标记这些变换，晶体平移对称性是一系列准连续的k值所标记的，k点所在空间称为k空间，k空间是相对晶体的原胞定义的，计算晶体的能带就是在k空间进行的，k空间也具有周期性，取原点周围的魏格纳-塞茨原胞，称为第一布里渊区。

晶面是相对于晶胞定义的。

按照晶体具有的点群分类，分为7种晶系（crystal system），即：triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, trigonal, hexagonal和cubic。

14种布拉伐格子，分为7种格点系（lattice systems），即：triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, rhombohedral, hexagonal和cubic。

晶系和格点系的区别见注2。

注2：trigonal三方晶系有两种布拉伐格子，一种是ibrav=5，菱方（rhombohedral）布拉伐格子，另一种是ibrav=4，六方（hexgonal）布拉伐格子，晶体属于菱方还是六方要看具体的空间群，在hexgonal和trigonal晶系中，7个空间群：